由科学发展揭示的悖论

    1.一元钱到哪里去了？

    三个学生住旅馆，服务员收费30元。因此每个学生拿出了10元，但是后来经理说今天特价，一共只收25元。服务生退还了学生3元并拿了2元的小费。结果每个学生只出了9元，一共27元，加上服务员的2元，才29元（3×9＋2＝39），那剩下的1元到哪里去了？
　　也有人把故事改编成这种形式：约翰推销他的旧电视30元给三位妇女，结果每个妇女拿出10元来。约翰发现他的电视只值25元，于是他拿出2元钱作运输费，将其他3元钱退还给那三位妇女一人1元。结果仍然是3×9＋2＝29，有１元钱不知去向。
　　这问题很容易蒙住粗心的人，但仔细一点就可看出名堂来。每个学生实际出了9元，一共27元，其中25元是住宿费，剩下2元被服务员拿走，应该做减法3×9－2＝25。如果要做加法，则应该加上退还的3元，3×9＋3＝30，不正是起初服务员收的30元吗？因此根本不存在“一元钱到哪里去了”的问题。
　　这是一个悖论吗？有人说不是，不过是在陈述上故意作了误导。但美国的《科学美国人》编辑部曾经出版了一本书叫《从惊讶到思考：数学悖论奇景》，就收集了这个悖论。

　　2.希帕索斯之过？
　　早在2500年前，古希腊的毕达哥拉斯（公元前572－前497）学派虽然认识到了事物背后有数的法则，但是由于他们对数的崇拜和迷信，认为万物中的数只有整数和整数之比，只有整数才可以描述宇宙间的各种关系。但是，当一个叫希帕索斯的学生发现：边长为1的正方形，其对角线不可能用整数来表达，这就触犯了这个学派的信条。而天真的希帕索斯向外人透露了他的发现，结果被扔到了海里而丧身。但是他的发现却引起了数学思想的大革命，史称“第一次数学危机”。
　　可见，有些“悖论”并不是真正的悖论，而是佯谬，只是人们一时还没有找到解释的方法或不愿意正视现实罢了。《华盛顿邮报》上曾经有一篇文章介绍到：德国物理学家伦琴（1845－1923）发现了一个似乎矛盾的现象，一些照像纸放在实验室的防光袋子里，但是上面竟发生了萤光反应。虽然与知道的常识不合，他却发现了一个看不见的、未知的原因：X光（X表示未知的意思）。尽管这不是一个经典的悖论，没有导致两个相互矛盾的结果，但是说明了一种在科学上对付悖论的办法。同样，很多科学悖论也往往指出了一个未知的X因素，需要人们去发现。由此，人们也可以从逻辑“死结”里解脱出来，拓展一种全新的概念。
　　罗素悖论曾经震撼了整个数学界，而同时期出现的数学悖论还有布拉里·福蒂悖论、康托尔最大基数悖论、理查德（J．Richard）悖论、培里（Perry）悖论和格瑞林（Kurt　Grelling）悖论。直到哥德尔不完全定理，这些悖论的出现和解决方法的提出也极大地推动了数理逻辑的发展。

　　3.落体佯谬
　　二千多年前，亚里斯多德认为“物体自由下落的速度和物体的重量成正比”。因此，“物体越重，下落的速度就越快；越轻，物体下落的速度越慢。”这一观察似乎接近日常生活的事实，除非在真空里，羽毛较石头落下的速度缓慢。因此，亚里士多德的理论看起来正好与人们的经验相符，所以两千年没有人怀疑过。但是，如果把它们绑在一起，下落得更快还是更慢？一方面，重量更大，应该落得更快；另一方面，快的物体也可能被慢的物体拖住，没有单独下落快。这两个推论是相互矛盾的。
　　十六世纪，伽利略的推理对亚氏学说提出了挑战。他的比萨斜塔实验证明：一对同样大小的木球和铅球同时落地，使这个佯悖解套。自由下落的物体，下落的速度与它的质量没有关系。它也是惯性定律、自由落体运动定律和广义相对论的一个实验基础。
　　4.孪生子佯谬（Twin　Paradox）
　　爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律E＝mc2。其中，c表示恒定的真空光速，被纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。而光速恒定则引出了相对论的两个著名“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。
　　根据相对论，在高速状态下，时间就会相对应地减慢，当速度达到光速的99.6％时，时间就相对地减慢一半。“孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得慢。根据这一结论，可以推测：一个乘飞船按接近光速的速度在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。
　　假若有一对孪生兄弟，A35岁，B35岁。如果A乘驾太空船，以光速的99.6％遨游太空30年，当他返回地球时可能出现：
　　A：35岁＋30年＝65岁 　　B：35岁＋60年＝95岁
　　在1905年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿的机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。而“时间相对论化”的确立，取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使“绝对运动”概念也失去了立足之地。
　　对于时间的不同变化节奏，在古代中国的传说中也有，多少与道教有点关系。例如，儿童五言诗：“王子去求仙，丹成十九天。洞中方七日，世上已千年！”《醒世恒言》卷三十八里，李道人独步云门，一路想道：“山中方七日，世上已千年。果然有这等异事！”这多半是古人的幻想。
　　5.“会变的尺”
　　这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈克尔逊实验结果提出来的，后来形成了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着的相对速度来解释（见聂运伟编着的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。

　　6.理想测量的悖论
　　在宏观世界里，一块石头自由落体准确可测，它按牛顿万有引力或重力定律发生作用。但是在量子物理学里，落下的不是石头，而是质量很小的电子，在微观世界里就会出现“测不准”的现象。在量子力学里，许多基本粒子一直处于某种不确定的可变化状态，打个比方，当你看到一块“石头”时，它是一块“石头”，这只是概率的一种；当你下次看到它时，它可能又是别的什么。德国物理学家海森伯（Werner　Heisenberg，1901－1976），1932年因提出测不准原理而获得诺贝尔物理学奖。
　　如果说相对论给了机械论物理学一个沉重的打击，那么量子力学的提出则标志着非机械论物理学的诞生。但是，爱因斯坦认为：量子力学是不完备的，一定有一个更好的理论使物理学家对实验结果作出确定的预期。他说：“在宇宙中，上帝是不掷骰子的。”量子力学认为在测量之前没有什么是实在的，也无法预期。爱因斯坦质疑：“难道月亮只有在你看它的时候才存在？！”这涉及到一个量子力学的适用范围问题。

　　7.薛定谔的猫（Schrodinger's　Cat）悖论
　　在日常观察中，一只猫非死即活，必居其一。而薛定谔的“猫”放在箱子却处于非死非活的叠加状态。这是薛定谔提出来的一个具有挑战性的难题。因为，按照量子力学的规则，箱子内的整个系统都处于两种态的叠加状态，这就是叠加原理（Superposition　Principle）。
　　“薛定谔猫”的实质是：宏观上是否存在量子般的叠加状态？“猫”从生与死的叠加状态过度到或生或死状态的区分点在哪里？这些难题有待物理学家的进一步探讨。

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