再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误

再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版)
——不识“更无理”数必使人犯极低级错误
（此文经编辑改标题公开发表在《教育前沿》2007（12））
黄小宁
                           通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631
   [摘要] 削足适履地定义非0误差0.999…—1= 0就是定义1/10n→0能到达0处，这是小学生也能一眼看出的违反起码数学常识的重大错误。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。此方法成功地掩盖了这一事实：无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数、已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！
关键词  小学数学；2500年常识性错误；分形几何；0.99…≠1；有首、末项的无穷数列；无限循环小数并非有理数
   早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。
    一再获此发现的关键是常识：变量必可遍取变域内的每一数即必可将变域内的数全部取出。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。要害是破解数学难题如破案，要过细，粗枝大叶往往搞错：将非0误差定义为0误差。小学生也一眼看出“长度为0的点能组成有长度的线段（点集）”是典型的违反常识的无中生有论啊！
    太使人承受不了的发现来自于太浅显的常识：由大到小取值的变量要取出x必先将变域内一切比x大的数全部取出。
一、对变量与无穷集不能只有一知半解的肤浅认识，更不能有错误的认识
    无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数a与b。变域为B的x由大到小一次次取值，必能有最后一次的取值：取到a后就无数可取了。即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。地球与宇宙相比是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小天体，但其与人相比又是有穷小天体。这是宇宙中“无穷”与“有穷”的对立统一性。又例如无限可分的原子就是“小宇宙”。人不可将无穷集内的数全部取出，≠相应变量不能。对人而言B内数多得取之不尽，但相应的变量x却可取尽B内数，正如人制造的机器人能干人所不能干的事一样。此由大到小取值的x必取尽无穷集(a，b)的一切数后才取a,即其必取至再也无除a外的任何数可取了,才取a。数学有定理断定此x在→a的过程中总与a相隔无穷多个属B的数，即说其总远远不能取尽“吃光”a与b之间的数，从而更不能到达a处。这显然是违反起码数学常识的定理。所以如[1]所述在B中必有紧贴a的数x＞a与a之间没有任何可取的数了。同理B各元x必有与之紧贴的数。限于篇幅本文只揭数学内违反常识的错误的冰山一角。常识：沿x轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。
     关键：变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。凡变量必有变域，无穷大是取数的变量。
    由大到小取值的y=x•x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的x必取0之后才能取负数一样。由一切非负实数组成的数集中有最小数0，同理，在无穷集H中必有最小正数y=c。y取c后就无正数可取了。因为若说此y取正数的过程没完没了，显然就是说其不可取尽变域的一切正数，从而更谈不上能取0。这显然违反起码数学常识。所以在H中并非任何正数y都有同属H的对应数y/2等。如根号2不能纳入有理数系内一样，有太小正数也不能纳入H内。
    对无穷现象的幼稚认识使世人误以为有首项的无穷数列必无末项。设空箩筐K装进了无穷数列A：1，2，3，…，n，n+1，…的一切数， 这一切数组成数集D。变域为D的n必能由小到大地将D内数全部取出，从而使K变得空无一数。若K内总有数，那就表明相应的变量不能将K内数全部取出，即其变域必非D。说变量n每取出一数n（n所取各数也均由n代表）后，K内总至少还剩有一数n+1，即K总不能变空，显然就是说此n不能将K内数取尽。能将K内数取尽的n在由小到大取值的过程中必能取至一n后就无数可取了，此n的后继n+1不属D；此n显然就是数列A的末项。文献[1]论证了任何正数集均有该集的最小、大正数。小学生也一眼看出y = n+1＞n=1，2，3，……表达y可＞数列A的一切数，即其必可取D外数y＞D的一切数n。可见表达式限制式中n不可取一切非0.自然数。形成鲜明对比的是n-1＜n=1，2，3，……中的n就可取一切自然数。不能头脑简单地断定数列A包含一切非0自然数啊！这充分说明：①D内必有一n的后继n+1是D外数。②若D各元n均有对应数n+1，则并非这所有的n+1都还在D内。即n+1的变域不是D的真子集。
   二、对极限论不能只有一知半解的肤浅认识
 因为A是无穷数列，所以A中必有n与1相隔写不完的那么多个自然数，此n＞“任给定”正数M显然是无穷大自然数。否定此事实与否定根号2是无理数一样都是极荒唐的。极限论断定n→∞变至后来所取各数n均＞任意给定的正数M = 1/ε。极限论断定无穷数列{1/n}中从某项开始以后各项均＜“任意给定”的正数ε。正实变量x→0从某时刻起以后所取各正数x均＜ε。可见，极限论间接断定有正数＜ε及有其倒数。不明此理的极限论之父对极限论的认识还很肤浅。这使数学一直存有起关键作用而又用而不知的“特异”数，正如原始人对氧气一直用而不知一样。不懂这类数就不懂微积分的精髓，更使数学无法自圆其说。
     “不能将D内数取完”本身就表示取数的变量的变域绝非D。若每打死一只狼n都必有一前仆后继的后继狼n+1扑上来，则打不尽狼决不下岗的战士永不能下岗，因其不能将狼打尽。所以能打尽狼的战士必能打至一狼n后就无狼可打了。即在狼群D中并非每只狼n都有后继n+1∈D。根据变域的定义，凡变量必能有序地取完变域内的一切数。据此，D内必有最大的n。又例如：在“分形几何”中有一“柯赫岛折线”是闭折线，它所围成的图形的面积是常数1，而图形的周长却是>“任给定正数”M的“无穷大数”。将折线剪断拉直，就成为无穷长直线段了。这是有始点与终点而长度却是无穷大的直线段l。否则此l就不能还原为原来的闭折线了。数学中只能在自然数集N内取值的n可→∞表明N内暗含有＞M的数。极限论断定无穷数列{n}中从某项起以后各项均＞M。

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