再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话

四、应明确ε是在哪一范围内任意取定的正数
能取数者都有一个取值范围的问题。“任意指定一个人，此人都必须遵守中国的相关法律。”显然是说任何（所有）人都须…。应改为“在中国任意指定一个人，此人都…。”同理“事先任意取定一个正数ε，必有ε>ρ”易使人“误以为”是事先在所有正数中任意取定一个正数…；从而断定ρ可< 任何正数。极限论说j式中的ε是“任意取定的一个正数”却又没有说取值范围。这使编书者们很自然地认为任何正数都能由此ε代表。“若对任一正数ε，…时有∣Un-l∣< ε成立，则称数l为这个序列的极限[10]”，显然认为任何一个正数都能由式中ε代表。因深知“任意”二字的含义，有编书者断定j式中的ε是“除了限于正数外，不受任何限制，即它可以是任何正数[11]。”“ε是可以任意选定的无论多小的正数[12]。”显然认为无论哪一小正数都能由ε代表。“an无限趋近于A就是说…，它等价于∣an–A∣可以比任何小的正数都小，…［１３］”即说有小正数< 任何小正数——病句！因为an往往不能与其极限重合。因深知“任意给定一个正数”与“不受任何限制地任意取定一个正数”是同义语，有“著名数学家”很有代表性地说总取正数的不断变小的无穷小“必是从一个正数开始，越变越小，且越过任何正数而靠近0（但达不到0）[14]”即说j式中的ρ可取正数ρ< 任何正数。谁能接受这一“高深”理论啊！其实其只能越过E的任何ε而靠近0。
[15]书6页:ε是“预先指定的任意小的正数”，7页：“ε必须具有绝对的任意性”。这显然说任何小正数都绝对能由ε代表——ε当然也能在j式中ρ的变域内任意取值。
这样一来j式就是一目了然的百年糊涂话：有小正数ρ< 任何小正数ε（ε可取任何小正数）。以其昏昏如何能使人昭昭？——这是极限论百年来总难学难教的真正原因！ “任意取定的正数ε”中的ε必可是取数范围内的任何数。否则何来取数的任意性？
应明确j式中的ε是在E中任意给定的一个正数。否则就会使人说出最不应说出的糊涂话。
五、否定存在无穷小正数使极限论自相矛盾
“无穷小分析”是分析研究非0无穷小，以解决只分析0等无法解决的问题的一门学问。不可到达0的无穷小所取各数的绝对值均为正数，所以不失一般性，本文只研究正实变量。为简便起见，以下将“极限论总难学难教”简记为“极′”，将“极限论之父”这几个字用字母F代表。
有编书者说因无穷小是变量，所以任何正数都不是无穷小。反映其对变量的认识还很肤浅。其实只取０的y = 0是变量，只取一个正数的y也是变量，也有极限。
正无穷小ρ从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε（此ε不是代表一个正数，而是代表其变域内的任何正数）。这说明一正实变量是无穷小的必要条件是其变域内有<ε的正数。这表明无穷小定义暗含此意：有<ε的正数。然而极限论又断定“定量中只有0才是无穷小”，这又暗含此意：任何正数都不能 <ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数。症结是F实际上断定此ε是任何正数。F 的两个“暗含”手段使数学家们对无穷小定义一直缺乏全面深刻的了解，从而百年失察此定义出尔反尔的前后自相矛盾性。F成功地将此矛盾掩盖了百年。若非如此，那就只能说F连对自己提出的无穷小概念也没清醒的认识而不知其自相矛盾。明眼人能一眼看出F只敢暗示而不敢明说无 <ε的正数。
不察此内幕的编书者明说无 <ε的正数：“再小的数都是固定不变的常数，其绝对值不会小于任意的正数ε，因此不是无穷小量。但是0可以看作是惟一特殊的无穷小量[16]。”书中同一页，编者说ε是“任意给定”的一个正数，编者显然认为这等价于说ε是任意的正数。注，“任意实数”＝“任何实数”。这显然明示无 <ε的正数，即说j式中的ρ不能代表正数。
否定无理数，数学就自相矛盾，否定起关键作用的 <ε的无穷小正数更必使数学自相矛盾，从而必化简为繁、化清为浊，使人不知其所云。数学否定客观存在的起关键作用的无穷小正数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。注！“在1，2，3中任意取定一数x”中的x可是1，可是2，可是3。同理，“在E中任意取定一数ε”中的ε可是E的任何数。
由上可见，没无穷小正数就不能有无穷小变量概念，更谈不上有标准分析。物质的无限可分性决定了有长度≠0但又短至不能与E内任何ε相对应的无穷短直线段。前苏联科学院士就肯定有此类线段：“线段 的长度会变得小于一个任意给定的正数ε，…；我们就说这个变量是个无穷小[17]。”强调：说变量ρ不能代表数，违反最最起码代数常识，只能代表一个数的ρ是数，能至少代表两个数的ρ反而不是数？这一糊涂话不把有头脑的学生搞糊涂那才怪呢。这是极′的真正原因。也许有的数学家对此有所察觉，从而提出非标准分析的无穷小正数概念：<所有标准正数ε的正数称为无穷小正数。关键：代表变数的字母ρ必代表其变域内的任何一个数。代数式中至少能代表2个数的字母就是变量（数），令其只代表1个数时就是定量，不能代表数的字母不是变数。
那些颂扬极限论“是一大批杰出的数学家经历了近二百年的努力而建立起来的，的确为微积分建立起了牢固的基础，很了不起[18]。”的数学家，其实对数学还没清醒的认识而只有幼稚的偏见。否定j式中的ρ是数与否定 是数一样都使数学自相矛盾。
柯西等人实际上用“地下”的、明否暗用的无穷小正数取代了Leibniz微积分的明说明用的无穷小正数，以为这样一来就能化解数学史上的无穷小危机。所造成的严重恶果之一是：使资深教授专家也说出最不应说出的上述糊涂话，从而使学生急陷入糊涂巷里。不识上述真相者并未真懂极限论。
“真人不露相”，数学大厦有“不露相”的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击。
j式中的ρ可<ε的变域E的任何ε，即有正数ρ<E的所有ε。反复强调：式中ε不是E的某一ε而是E的任何ε。ε是在E中任意取定的正数，而不是“取定的正数”；根据取值的任意性，这等价于说ρ可< E的任何ε。凡变量都能在变域内任意取值。 “任意取定一个正数ε”是说在取数范围E内的任何数都由ε代表，变量ε只能在E内任意取值。反复强调：凡能取数者必有取值范围的问题，不识此理者根本不懂变量的含义。还要反复强调“给定一数”=“取定一数”。
所以，说j式中的ε是在所有正数中任意给定的正数，就是变相断定式中ρ> 0可取非正数ρ< 任意正数。说变域为D =（0，1）的x→0从某时刻起以后所取各数均< 任何ε，就是说D内有正数x < 任何ε。任何ε> x > 0直接表达有正数x < 任何ε。
熟知手中武器的全部性能与作用是对战士最起码的要求，熟知表达式所表达的全部内容是对数学人最起码的要求。“任何人”与“某国任何人”是有重大区别的，因前者是对全球而言的。同理，“任意取定一个正数ε，必有ε>ρ”显然是说ρ可 < 任意（何）的正数。数学几千年来一直断定对任何正数x ，必有比之小的正数如x /2等。凡非鹦鹉学舌的学生都会问：ε是否是能在（0，1）内任意取定的数？有的编书者说ε不能是具体的、确定的数。这把学生给搞糊涂了：ε所代表的不是确定的数，难道是鬼魂？你前头不是说ε是任意给定的一个数吗？！这极限论逼得有正常思维能力的编者语无伦次、思想混乱啊！此关键问题不弄清，这后面的课谁还听得进？！不产生厌学情绪那就是世界奇迹了。如此“高深”的理论一辈子都学不懂啊！但为了文凭与职称，谁都不敢说真话啊！不说考官、编辑喜欢听的话而说真话，意味着什么是可想而知的。这是极′的又一真正原因。没有勇于自我牺牲的精神就绝不敢得罪权威说真话、不盲从。非智力因素对能否弄清事实真相的影响是重大的。
伟大发现来自于为真理而献身的伟大精神。数学史上无理数的发现者竟须付出生命的代价才能纠正重大数学错误。
若在D内任意取定一个数，此数必能由ε代表，则D的所有数都能由ε代表。同理若在D内任意取定一个数ε，必有ρ<ε，则ρ必能<D的所有ε。否定此事实的理论是思想混乱的理论——正常人无法学懂的理论。
若病人隐瞒了关键事实，医生就无法知道他得何病；若数学家将在微积分中起关键作用的无穷小数转入“地下”，回天乏术的别人就无法学得进微积分，反而以为F智力超群，凡人的学习能力太差了。
y = x +1010x = x（1+1010）≈x（0+1010）= 0+1010 x >> x > 0表明1与1010相比实在是太小了以致于可视其为0而忽略，同时也表明和式中的首项x→∞与末项相比实在是总距0太近了，以致于可视其为0而忽略，即其所取各数x相比下均为可忽略的近0数。然而初中数学却断定此可忽略的x可由小到大取一切正数，即说表达式右端的“x > 0”可代表“任何正数”四字。这充分说明数学家们初中时就受到了使其终生受害的误导教育。所以数学内所有正数组成的Z内并非任何正数x都有对应数1010x∈Z，有太大的正数大至不能还有远比它大，使它相比下≈0的对应数∈Z了。“任何正数x << 1000x = y”显然是病句：有正数y >> 任何正数。物极必反，量变引起质变。超过一定限度的太大正数不能与一般的大正数相提并论了，两者有质的重大区别。
六、结束语：数学革命必将“过劳”的师生解放出来
其实j式中的ε是在ε的取值范围内任意取定的一个数，而不是在所有正数中任意取的数。病句不除，祸害无穷！纠正了无穷小变量定义的自相矛盾后，半分钟就能真懂极限概念：永非A的x→A是说两者的距离ρ> 0能变至恒取无穷小正数ρ<相应的所有ε。人有天生拒绝接受自相矛盾学说的本能，学这类学说犹如被灌迷魂汤——这是极′的真正原因。数学革命必将“过劳”的师生从迷魂阵里解放出来。但数学史表明造福全人类的革命数学发现会给发现者惹来杀身之祸啊！相比之下，作出重大科学发现并不难，难的是人为的重重阻力。起来！不愿被蒙在鼓里、不愿过劳的人们！
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1]中央广播电大杂志编辑部  数学［C］，吉林人民出版社，1984.10：3。
[2]马建珍  如何搞好新生《数学分析》的教学，见：中国高等教育教学研究·数学·计算机卷［C］，北京：中国农业科技出版社，2001.5：47。
[3]丁勤政  痛稿2004[M]，北京：新世界出版社，2004.6：7。
[4]黄小宁  极限论总难学难教的真正原因：否定有正数<ε，见：中国高等教育研究论丛·数学·计算机卷[C]，北京：中国社会出版社，2004.6：16
[5]林群  画中漫游微积分——著名科学家谈微积分[M]，桂林：广西师大出版社，1999.1：4
[6]项武义  直说微积分[M]，上海：复旦大学出版社，1986.5：20。
[7]黄小宁   再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社，2004.10：814。
[8]叶其孝等译  托马斯微积分·10版[M]，北京：高等教育出版社，2003.8：103.
[9]黄正中  高等数学·上册[M]，北京：人民教育出版社，1978.3，2版：11。
[10][美]M．R．施皮格尔编，施建兵等译  全美经典学习指导系列·微积分[M]，北京：科学出版社，2002.1：38。
[11]宋开泰等主编　（物理类专业用书）高等数学·上册[M]，武汉：武汉大学出版社，1998.9：232。
[12]孙清华等 　数学分析·内容、方法与技巧·上册[M]，武汉：华中科技大学出版社，2003.7：22
[13]李茂胜 　中学数学教材全解·高二代数[M]，西安：陕西人民出版社，2000.6：238。
[14]莫绍揆  极限论新解[M]，北京：高等教育出版社，1992.5：26。
[15]刘玉琏等 　高级中学微积分初步全一册（甲种本）教学参考书[M]，同[9]，1985.9。
[16]孙丽华等主编 　工科数学基础·二版·上册[M]，同[14]，2004.12：26。
[17]斯米尔诺夫编，孙念增译  高等数学教程一卷一分册[M]，北京：商务印书馆，1952.11：48。
[18]龚昇  话说微积分[M]，合肥：中国科技大学出版社，1998.5：9。
完成于2005.12.8。
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