再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话

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 此文公开发表在《科技信息》2008年第1期
[摘要]“预先任意给定的正数ε”能否在V＝（0，1）内任意给定？若能，则V各元均能由ε代表；若不能，则何来不受任何限制的任意性？若预先在V内任意取定一数ε，必有ρ<ε，则由于取值的任意性，ρ必可<V的所有（任何）元ε。“预先在1，2，3中任意取定的数ε”中的ε可是1，可是2，可是3。同样“任意取定一数ε”中的ε可是取值范围内的任何数。连文盲也知“任意性”的确切含义。所以，说0 < 距离变量ρ<ε中的ε是在整个数学领域中任意取定的正数，就是说ρ> 0可< 任意（任何）正数——这显然违反数学常识——这是极限论百年来总难学难教的真正原因。违反常识的理论必至繁至难。
关键词  自相矛盾的无穷小定义； y=x/2的值域≠定义域 ； 重大病句：任何正数x > x /2；无穷小正数ρ<相应的所有ε
一、林群院士的精辟见解对破解极限论总难学难教的百年世界难题很有指导意义
“我最感到困难的是极限的概念，看了几遍教材都似懂非懂、模模糊糊的[1]。”“许多新生刚一接触《数学分析》，都感到很抽象，难理解，甚至半学期都入不了门。这使不少高考成绩不错的新生由刚入学时的雄心勃勃变得灰心丧气。…，尤其是‘极限理论’这一部分，…在讲解完‘数列极限’后，我上了一堂习题课，深入剖析了极限概念…。课后一名男生对我说：‘老师，您上习题课前我觉得自己啥都明白，上完习题课后反而感觉啥都不明白了。’这说明…，他并没有真正理解‘极限’的本质[2]。”注！有的师生害怕权威说自己不聪明而不敢公开自己对学、教极限论的真实感受。教师即使“过劳”也教不会过劳的学生啊！
学习微积分首先要学极限论，而学生花了许多时间与精力还是越学越感到啥都不明白地如坠云里雾里。后续的课程如何学？！学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。极限论使成功考入大学的骄子急陷入…。首要的问题不通，则一不通百不通；通了，就一通百通。“…是2003年11月11日。早在一周前，就有三个大一新生打电话回母校…诉苦，…，另两个说高数难死人。最严重的一个学生说他半个月没有听数学课了，因为微积分根本听不懂。…！上大学才半个学期不到，微积分就学不下去，大学四年怎么混？[3]”（类似这样披露学生叫苦连天的例子数不胜数）面对学生的诉苦，老师也束手无策。确实，不打掉学习路上的拦路虎是根本学不下去的。但经千辛万苦考进来且交了学费的学生谁愿束手待毙等退学？若退学如何向父母交待？出于无奈学生们只有像填鸭那样痛苦万分地接受老师“填鸭“式的满堂灌。更要命的是养成不求甚解的死记硬背陋习必使人只会盲目模仿例题解题，根本不能真正理解与掌握所学知识，使高分低能现象愈演愈烈。这使教育走向了自己的反面。
这是一直没能解决的极为突出的世界性老大难难题。“关键是以往的教学改革者均不知百年极限论有把人给搞糊涂了的糊涂话，…[4]”。不对症下药的教学改革只能使“病情”越治越重。林群院士精辟指出：“如果读者经过认真阅读之后，还是弄不清微积分是什么，那么不要以为自己水平低；相反，要理直气壮地认为著者没有水平。…所以，读者懂或不懂，恰好是反映著者水平高或低的镜子。读者是公正的裁判员[5]。”据此，一定是编书者与教师们对极限论的认识还远不够深，不够透，即其学识水平还远不能满足教学的需要。只会照本宣科而非真懂与懂透极限论者是无法完成教学任务的。
二、无穷数概念来源于常识
林群院士精辟指出：“数学归根结底也在常识之内。”（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，n，…，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列。
三、对数学表达式所表内容不能只有一知半解——百年“R完备”定理不堪一击
要不人云亦云地深入了解英国，首先需懂英语，要不人云亦云地深入了解与掌握数学，首先需懂数学语言的含义。代数，就是用字母代表数。“在数集D内任意指定一个数x，必有y < x 。”显然是说y必可<D内所有（任何）数x。文盲也知“在所有中国人中任意指定一个人，此人须遵守中国国法。”与“所有的中国人都须遵守中国国法。”是同义语。只有连“任意”二字的含义也不懂的人才不明白此常识。同理，说在所有正数中任意取定一个正数ε必有ρ<ε，就是说ρ必可< 所有正数，任何正数都能由ε代表。这是由取值的任意性决定的事实。
“∣a–b∣=…< 2ε。由ε> 0的任意性知a–b = 0”（李成章等，数学分析（2版）上册，科学出版社，2004.7：25）显然断定式中2ε可在所有正数中任意取值,从而推断只取一数的∣a–b∣可<一切正数。同样，说变量ρ< 任意正数ε，就是说其可< 一切正数而取非正数。
 “一个变数就是一个数学符号，通常用x , y , t等来表示，它被用来代表某一数系中的某一子集D中的任一元素。该数集D叫做这个变数的变域[6]。”此定义没有规定D内元素的个数，所以任何定量都是变量：变域内只有一个数的变量。定义表明“变量x”中的x既是变量，同时也代表D内任何定量，x所取各数也均由x代表，D内各元都有一个共同的“名字”叫x （上、下文联系来看就知此x是变量，彼x是定量。）。极限论将“0 < 任何正数”化简为繁地表为：在所有正数中任意给定一个正数ε，必有ε> 0。
约定：任何函数的定义域都可由D代表、值域都可由Z代表。
“任何正数x”中的x可取任何正数，即任何正数都由此x代表。0 < 任何正数x，直接表达有数0 < 任何正数。同样，“任何正数x > y”也一目了然地直接表达有数y < 任何正数，只不过这里用字母y代表 < x的数罢了。几千年数学一直断定：任何正数x=2（x/2）> x/2 = y > 0。一眼看出这是重大病句：有正数y < 任何正数。S式
   0 < y= x / 2 < x（变域为D）         S
中的y随x的变小而变小，说式中x可由大到小遍取任何（所有）正数，显然就是说式中y可不断变小，以至可小到 < 所有正数，即说其变域内有正数y < 任何正数。
y < x = x1 , x2 , x3，…中写出了x的变域D内的三个数，省略号表示D内其余的数。此式一目了然地表达y可< 一切能由式中x代表的数，即y的变域内有数y < D的所有x。可见S式中的D不能包含一切正数，而只能包含一切形如x = 2 (x / 2) > x /2的正数x。S式石破天惊地直接表达有正数y < D的所有x ，此y显然≠2（y / 2）,即其小至不可有对应数y / 2。形成鲜明对比的是y = x –1 < x > 0中的x就可取一切正数。关键是S式中的x不是D的某一x而是D的任何x，式中x可一个不漏地遍取D内一切正数使y必可一个不漏地遍比D内任何正数都小而取D外数。
可见，并非任何正数x均有比其小的对应数x / k（k >1）。否定此太重大的革命发现就要出现重大病句：任何正数x > x / k > 0。详论请见[7]。要害是若任一正数集Z各元x都有x>y，则 此y必可<Z的任何(所有)x。
关键是对数学表达式所表达的内容、对式中各字母的含义,不能只有一知半解的肤浅认识。断定S式中y的定义域=值域，是因没能一眼看出S式直接表达y的变域内有数y < D的所有x。断定S式中的 y可取一切正数，显然就是说式中x可变至 > 一切正数y，即说D内有数x > 一切正数——这显然是病句！同理说y = x + 1 > x中的x可取一切实数，就是说有实数y >一切实数。从西方引进来的数学有数不尽的那么多个病句啊！
“D的任何元x > y = x /2 > 0”一目了然地直接表达y的值域内有正数y < D的任何（所有）数x 。
连最简单而又最重要的一次函数的值域与定义域，从西方引进来的数学也几乎全都搞错了啊！这是最根本的重大错误。R+ 任何元x（变量x的变域是R+）> x /2 > x /3 > …>…>0直接表达有无穷多个正数均 < R+的所有数x。关键是式中x代表R+的任何数。全面透彻地明白数学表达式所表达的全部内容，应是每个数学人都应具备的最起码的数学基本功。学数学须会将数学式“翻译”为文字。关键是式中x代表了一切可由其代表的数。
所以断定R含一切实数的百年“R完备”定理是不堪一击的重大错误。建立在此重大错误之上的极限论等理论必是错上加错的更重大错误。须反复强调：“y < x = x1 , x2 , …”一目了然地表达y可< 一切能由x取的数，即有数y < x的变域内的一切x。
仅仅知道S式表示y小于x，是远远不够的，应能一眼看出式中x可代表“D的任何元素”这几个字，从而一眼看出S式有表达：y可变至小于D的任何数。不知表示变量的字母同时也代表其变域内的任何定量这一事实的教授专家们，显然对变量的定义还没有全面深入的了解，从而强调j式
0 <ρ<ε=ε1 , ε2  , ε3   ,……                                        j
中的无穷小ρ“是变量而不是数”。从而使深懂数学常识的学生感到莫明其妙、百思不得其解：不是数的“鬼魂”如何能与数比较大小？！j式不是表示数与数之间大小关系的关系式吗？不敢怀疑专家教授们的“正确”性的学生哪能不深深感叹：极限论太“高深莫测”了啊！经极限论“洗脑”的专家们“忘”了式中ρ所取各数ρ均为 <ε的正数这一代数常识啊！连有多年教学经验的资深教师也被极限论误导至犯常识性错误啊！正因ρ是变量才更说明其代表数，定量ρ只能代表一个数，非定量的变量ρ却须至少代表二个数。说变量ρ不能代表数，让听课的学生如何听得下去？其不惊得目瞪口呆、脑子顿时变得一片空白，那才不正常呢。
根据变量的定义，j式中的ε是变量；凡变量必有变域，一切能由式中ε代表的数组成的数集E就是此ε的变域。“给定一个数ε”与“取定一个数ε”是同义语，其表示变量ε取定一个数且此数也由ε代表。j式一目了然地表达式中ρ可< E内任何（所有）ε，即说ρ的变域内有正数ρ< E的所有ε。关键是式中ε代表了一切可由其代表的数。
“如果，对任何数ε> 0，…，有│f（x）－L │<ε[8]”——这里的“任何数ε> 0”显然应表示“任何能由此ε代表的正数”，而不是表示“任何正数都能由此ε代表”，因为在非负数中只有0才能 < 任何正数（注！│f（x）－L │>０）。
“倘这事实只对某一个ε和某一个N成立，仍不能说…以l为极限，应该要对每一个ε都成立[9]。”这明确表示极限定义中的绝对值变量必须可<ε的变域内的所有（每一）ε。

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